计算机辅助设计系统和方法

1.一种CAD系统，其特征在于，包括：
点列信息提取部件，提取曲面上的多个点列；
分割部件，根据所述点列，使用其它的CAD系统生成曲面，并将该曲面 分割为规定数目的网格；
一次规格量计算部，计算由形成该网格的切平面的切线矢量定义的一次 规格量；
二次规格量计算部，计算由所述切线矢量和所述网格的法线矢量定义的 二次规格量；
存储部件，存储所述点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量；
主曲率计算部件，基于所述一次规格量和二次规格量来计算所述网格的 主曲率；
曲率线计算部件，基于所述主曲率计算表示所述网格的主方向的曲率线；
特征点/特征线解析部件，从基于所述主曲率、所述主方向、所述曲率线、 和所述一次规格量以及二次规格量而计算的高斯曲率以及平均曲率所组成的 表示所述曲面的特征的五个特征量中，提取成为由一个或者大于等于两个的 特征量的变化图形规定的变形的基准点或者基准线的点或者线；以及
周长计算部件，基于根据所述一次规格量以及二次规格量计算的曲率计 算周长。
2.如权利要求1所述的CAD系统，其特征在于，还包括：
再现部件，以所述特征点或者特征线作为变形的基准，在所述曲率线方 向上仅使所述周长部分的所述曲率线变形，并再现所述网格或者所述曲面。
3.如权利要求2所述的CAD系统，其特征在于，还包括：
变换部件，从所述再现的网格或者曲面提取曲面上的多个点列，并根据 其它CAD系统中的图形表现算法来变换该点列。
4.一种CAD方法，其特征在于包含：
点列信息提取步骤，提取曲面上的多个点列；
分割步骤，根据所述点列使用其它的CAD系统生成曲面，并将该曲面分 割为规定数目的网格；
一次规格量计算步骤，计算由形成该网格的切平面的切线矢量定义的一 次规格量；
二次规格量计算步骤，计算由所述切线矢量和所述网格的法线矢量定义 的二次规格量；
存储步骤，存储所述点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量；
主曲率计算步骤，基于所述一次规格量和二次规格量来计算所述网格的 主曲率；
曲率线计算步骤，基于所述主曲率计算表示所述网格的主方向的曲率线；
特征点/特征线解析步骤，基于所述主曲率、所述主方向、所述曲率线、 和所述一次规格量以及二次规格量而计算的高斯曲率以及平均曲率所组成的 表示所述曲面的特征的五个特征量中，提取成为由一个或者大于等于两个的 特征量的变化图形规定的变形的基准点或者基准线的点或者线；以及
周长计算步骤，基于根据所述一次规格量以及二次规格量计算的曲率计 算周长。
5.如权利要求4所述的CAD方法，还包含：
再现步骤，以所述特征点或者特征线作为变形的基准，在所述曲率线方 向上仅使所述周长部分的所述曲率线变形，并再现所述网格或者所述曲面。
6.如权利要求5所述的CAD方法，还包含：
变换步骤，从所述再现的网格或者曲面提取曲面上的多个点列，并根据 其它CAD系统中的图形表现算法来变换该点列。
7.一种CG系统，其特征在于，包括：
点列信息提取部件，提取曲面上的多个点列；
分割部件，根据所述点列，使用其它的CG系统生成曲面，并将该曲面 分割为规定数目的网格；
一次规格量计算部，计算由形成该网格的切平面的切线矢量定义的一次 规格量；
二次规格量计算部，计算由所述切线矢量和所述网格的法线矢量定义的 二次规格量；
存储部件，存储所述点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量；
主曲率计算部件，基于所述一次规格量和二次规格量来计算所述网格的 主曲率；
曲率线计算部件，基于所述主曲率计算表示所述网格的主方向的曲率线；
特征点/特征线解析部件，从基于所述主曲率、所述主方向、所述曲率线、 和所述一次规格量以及二次规格量而计算的高斯曲率以及平均曲率所组成的 表示所述曲面的特征的五个特征量中，提取成为由一个或者大于等于两个的 特征量的变化图形规定的变形的基准点或者基准线的点或者线；以及
周长计算部件，基于根据所述一次规格量以及二次规格量计算的曲率计 算周长。
8.一种CG方法，包含：
点列信息提取步骤，提取曲面上的多个点列；
分割步骤，根据所述点列，使用其它的CG系统生成曲面，并将该曲面 分割为规定数目的网格；
一次规格量计算步骤，计算由形成该网格的切平面的切线矢量定义的一 次规格量；
二次规格量计算步骤，计算由所述切线矢量和所述网格的法线矢量定义 的二次规格量；
存储步骤，存储所述点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量；
主曲率计算步骤，基于所述一次规格量和二次规格量来计算所述网格的 主曲率；
曲率线计算步骤，基于所述主曲率计算表示所述网格的主方向的曲率线；
特征点/特征线解析步骤，基于所述主曲率、所述主方向、所述曲率线、 和所述一次规格量以及二次规格量而计算的高斯曲率以及平均曲率所组成的 表示所述曲面的特征的五个特征量中，提取成为由一个或者大于等于两个的 特征量的变化图形规定的变形的基准点或者基准线的点或者线；以及
周长计算步骤，基于根据所述一次规格量以及二次规格量计算的曲率计 算周长。

技术领域\n本发明涉及将部件的形状变形为目标的曲面形状的计算机辅助设计 (CAD)系统和CAD程序。\n背景技术\n当今，为了能够应对消费者的要求而希望缩短从计划到设计、生产的过 程。为了使设计、生产过程高效化，而广泛利用CG(Computer Graphics)和 CAD(Computer Aided Design)系统。为了在计算机上表现汽车和家庭电器 制品等具有复杂的曲线或曲面形状的形状，以往，存在以下的处理方法。\n第一种是立体模型(solid model)，在计算机内保持被称为“原始形状 (primitive)”的简单的形状，并重复进行组合这些形状的操作，从而表现复 杂的形状。原始形状是指例如圆柱、立方体、长方体、环面、球等，在立体 模型中通过这些原始形状的集合运算来表现形状。从而，为了形成复杂的形 状而需要很多的步骤，并且需要严密的计算。\n第二种是表面模型，通过利用bezier、b-spline、有理bezier、NURBS (Non-Uniform Rational b-spline)等算法，进行将线或面切割、连接的操作， 通过该重复来表现复杂的自由曲线、曲面。\n但是，在上述立体模型和表面模型中，即使是在表现上没有问题的模型， 在CAM和CAE等下游应用中使用的情况下，有时也产生问题。其原因在于， 制作的CG支持的支持元素和其它的CG、CAD以及下游应用支持的支持元 素的不同或形状定义的不同等，经由修整这些不同的翻译器等的应用来进行 模型的校正((日本)特开2001-250130号公报、特开平11-65628号公报、特 开平10-69506号公报、特开平4-134571号公报、特开平4-117572号公报、 以及特开平1-65628号公报)。\n但是，上述校正工作在实现设计、生产过程的缩短上效率极低。需要校 正的理由根据各个情况而各种各样，但特别在生产过程中成为问题的方面在 于，在现有的CG和CAD系统中，根据欧几里德几何学，将所有的曲线、曲 面表现近似。例如，在通过扫描(sweep)操作来生成图6所示的鞍形的列表 柱面的情况下，存在鞍的边缘部分的长线和鞍的中心部分的短线。从而，该 扫描操作为了保持生成的曲面的连续性而成为伴随图形的伸缩的变形。但是， 在现有的CG和CAD系统中不考虑该伸缩，作为内部表现近似表现为圆筒形。 因此，实际上，将这样的通过欧几里德几何学近似地表现的CG模型或者CAD 模型传给CAE时，这里产生的误差成为生产上的问题。\n发明内容\n本发明为了解决这样的问题而提出，其目的在于提供一种可以大幅度提 高CG模型或者CAD模型的利用价值，同时可以使设计、生产过程高效化的 CAD系统以及CAD程序。\n本发明的CAD系统的特征在于包括：点列信息提取部件，提取曲面上的 多个点列；分割部件，根据所述点列，使用其它的CAD系统生成曲面，并将 该曲面分割为规定数目的网格；一次规格量计算部件，计算由形成该网格的 切平面的切线矢量定义的一次规格量；二次规格量计算部件，计算由所述切 线矢量和所述网格的法线矢量定义的二次规格量；以及存储部件，存储所述 点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量。\n而且，本发明的CAD系统的特征在于还包括：主曲率计算部件，基于所 述一次规格量和二次规格量来计算所述网格的主曲率；曲率线计算部件，基 于所述主曲率计算表示所述网格的主方向的曲率线；特征点/特征线解析部 件，从基于所述主曲率、所述主方向、所述曲率线、和所述一次规格量以及 二次规格量而计算的高斯曲率以及平均曲率所组成的表示所述曲面的特征的 五个特征量中，提取成为由一个或者大于等于两个的特征量的变化图形规定 的变形的基准点或者基准线的点或者线；周(girth)长计算部件，基于根据 所述一次规格量以及二次规格量计算的曲率计算周长。\n而且，本发明的CAD系统的特征在于还包括再现部件，以所述特征点或 者特征线作为变形的基准，在所述曲率线方向上仅使所述周长部分的所述曲 率线变形，并再现所述网格或者所述曲面。\n而且，本发明的CAD系统的特征在于还包括变换部件，从所述再现的网 格或者曲面提取曲面上的多个点列，并根据其它CAD系统中的图形表现算法 来变换该点列。\n本发明的CAD程序的特征在于使计算机执行以下处理：点列信息提取处 理，提取曲面上的多个点列；分割处理，根据所述点列使用其它的CAD系统 生成曲面，并将该曲面分割为规定数目的网格；一次规格量计算处理，计算 由形成该网格的切平面的切线矢量定义的一次规格量；二次规格量计算处理， 计算由所述切线矢量和所述网格的法线矢量定义的二次规格量；存储处理， 存储所述点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量。\n而且，本发明的CAD程序还使计算机执行以下处理：主曲率计算处理， 基于所述一次规格量和二次规格量来计算所述网格的主曲率；曲率线计算处 理，从基于所述主曲率计算表示所述网格的主方向的曲率线；特征点/特征线 解析处理，基于所述主曲率、所述主方向、所述曲率线、和所述一次规格量 以及二次规格量而计算的高斯曲率以及平均曲率所组成的表示所述曲面的特 征的五个特征量中，提取成为由一个或者大于等于两个的特征量的变化图形 规定的变形的基准点或者基准线的点或者线；周长计算处理，基于根据所述 一次规格量以及二次规格量计算的曲率计算周长。\n而且，本发明的CAD程序还使计算机执行再现处理，以所述特征点或者 特征线作为变形的基准，在所述曲率线方向上仅使所述周长部分的所述曲率 线变形，并再现所述网格或者所述曲面。\n而且，本发明的CAD程序还使计算机执行变换处理，从所述再现的网格 或者曲面提取曲面上的多个点列，并根据其它CAD系统中的图形表现算法来 变换该点列。\n本发明的CG系统的特征在于包括：点列信息提取部件，提取曲面上的 多个点列；分割部件，根据所述点列，使用其它的CG系统生成曲面，并将 该曲面分割为规定数目的网格；一次规格量计算部，计算由形成该网格的切 平面的切线矢量定义的一次规格量；二次规格量计算部，计算由所述切线矢 量和所述网格的法线矢量定义的二次规格量；以及存储部件，存储所述点列 信息和所述一次规格量以及所述二次规格量。\n本发明的CG程序使计算机执行以下处理：点列信息提取处理，提取曲 面上的多个点列；分割处理，根据所述点列使用其它的CG系统生成曲面， 并将该曲面分割为规定数目的网格；一次规格量计算处理，计算由形成该网 格的切平面的切线矢量定义的一次规格量；二次规格量计算处理，计算由所 述切线矢量和所述网格的法线矢量定义的二次规格量；存储处理，存储所述 点列信息和所述一次规格量以及所述二次规格量。\n本发明具有以下效果。\n由于包括：点列信息提取部件，提取曲面上的多个点列；分割部件，根 据所述点列使用其它的CG或者CAD系统生成曲面，并将该曲面分割为规定 数目的网格；一次规格量计算部件，计算由形成该网格的切平面的切线矢量 定义的一次规格量；二次规格量计算部件，计算由所述切线矢量和所述网格 的法线矢量定义的二次规格量；存储部件，存储所述点列信息和所述一次规 格量以及所述二次规格量，所以通过采用保障自由曲线、曲面的连续性的曲 面理论，可以大幅度提高CG模型或者CAD模型的利用价值，同时可以使设 计、生产高效化。\n而且，由于包括：主曲率计算部件，基于所述一次规格量和二次规格量 来计算所述网格的主曲率；曲率线计算部件，基于所述主曲率计算表示所述 网格的主方向的曲率线；特征点/特征线解析部件，从基于所述主曲率、所述 主方向、所述曲率线、和所述一次规格量以及二次规格量而计算的高斯曲率 以及平均曲率所组成的表示所述曲面的特征的五个特征量中，提取成为由一 个或者大于等于两个的特征量的变化图形规定的变形的基准点或者基准线的 点或者线；周长计算部件，基于根据所述一次规格量以及二次规格量计算的 曲率计算周长，所以可以将根据曲面理论而解析的CG或者CAD模型再现以 及变换为其它CG或者CAD模型。\n而且，由于还包括以所述特征点或者特征线作为变形的基准，在所述曲 率线方向上仅使所述周长部分的所述曲率线变形，并再现所述网格或者所述 曲面的再现部件，所以可以再现根据曲面理论解析的CG或者CAD模型。\n而且，由于还包括从所述再现的网格或者曲面提取曲面上的多个点列， 并根据其它CG或者CAD系统中的图形表现算法来变换该点列的变换部件， 所以可以将根据曲面理论解析的CG或者CAD模型变换为其他的CG或者 CAD模型。\n附图说明\n图1是表示本实施方式的CAD系统的结构的结构图。\n图2是表示将曲面分割为m×n的网格并定义基本矢量Su、Sv的情况的 说明图。\n图3是表示单位切线矢量t和单位法线矢量n的张面的说明图。\n图4是表示从解析程序1的自由曲面解析到进行数据传送的处理的流程 的流程图。\n图5是表示曲率变化的情况的说明图。\n图6是表示平均曲率和高斯曲率的分类的说明图。\n图7是表示等倾斜正交线的说明图。\n图8是表示主曲率极值线的说明图。\n图9是表示倾斜极值线和高斯曲率分布的情况的说明图。\n图10是表示曲率线的说明图。\n具体实施方式\n以下参照附图说明本发明的CAD系统的一实施方式。图1是表示本实施 方式的CAD系统的结构的结构图。本实施方式的CAD系统由CPU等中央运 算处理装置(未图示)、ROM和RAM等存储器(未图示)、数据库10、图像 显示处理部11、显示部12、输出部13、通信部(未图示)构成。\nCPU读取存储于ROM中的解析程序1、变换程序2、再现程序3，并执 行关于自由曲面解析、变换、再现的一连串的处理。RAM是用于由CPU临 时存储数据的半导体存储器。\n解析程序1读取CAT等的三维形状物的实测值数据20和其它CAD格式 数据21(例如，由立体模型，以及bezier、b-spline、有理bezier、NURBS等 表面模型表现的图形数据)，并制作点列信息表30、一次规格量表31、二次 规格量表32，由CPU执行存储于数据库10中的处理。\n如图2所示，点列信息表30由以\ns(u，v)＝{x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)}0≤u，v≤1......(算式1) 的参数形式表示的曲面上的点列信息(u，v)构成。例如，u＝0，1/m，2/m，...... m-1/m(m是自然数)，设为v＝0，1/n，2/n......n-1/n(n是自然数)时，图2所示的 曲面被分割为m×n的网格。在该情况下，点列信息(u，v)成为网格IDl～IDmn 的mn个数据串。\n一次规格量表31由从以下的算式导出的一次规格量E、F、G构成。在 上述u和V有函数关系的情况下，s(u，v)表示曲面上的曲线，偏导函数 s/u＝Su表示u＝一定的曲线的切线矢量，偏导函数s/v＝Sv表示v＝一定 的曲线的切线矢量。此时，基本矢量Su，Sv形成曲面的切平面。而且，从曲 面上的两点s(u，v)连接s(u+du，v+dv)的矢量ds由\nds＝sudu+svdv......(算式2)\n表示。这里，ds的绝对值的平方由\n(ds)2＝ds·ds＝su 2(du)2+2su·svdudv+sv 2(dv)2......(算式3)\n表示，根据曲面的基本矢量，上述的一次规格量由下式定义。\nE＝su 2，F＝su·sv，G＝sv 2......(算式4)\n上述的一次规格量E、F、G这样在各网格中唯一地确定，一次规格量表 31存储分别对于网格ID1～IDmn的值。\n上述算式3以及算式4总结为\nds2＝E(du)2+2Fdudv+G(dv)2......(算式5)。\n二次规格量表32由通过以下的算式导出的二次规格量L、M、N构成。 将基本矢量Su、Sv构成的角设为ω时，这些内积F和基本矢量的矢量积的绝 对值H使用一次规格量表示如下。\n F = | s u | · | s v | cos ω = ( EG ) cos ω . . . . . . (算式6)\n H = | s u × s v | = | s u | · | s v | sin ω \n = EG ( 1 - cos 2 ω ) = EG - F 2 . . . . . . (算式7)\n使用该计算值H，曲面上的单位法线矢量n由以下的算式表示。\n n = ( Su × Sv ) H . . . . . . (算式8)\n而且，如图3所示，曲面上的点P的切线矢量的线束存在于该切线平面 内，单位切线矢量t的一个由以下的算式表示。\n t = ds ds = Su ( du ds ) + Sv ( dv ds ) . . . . . . (算式9)\n如图3所示，由该t和n决定的平面称为法平面。\n该法截面上的点P的曲率κ称为法曲率，由法截面的弧长s微分t时， 成为\n dt ds = Su d 2 u ds 2 + Sv d 2 v ds 2 + Suu ( du ds ) 2 + 2 Suv ( du ds ) ( dv ds ) + Svv ( dv ds ) 2 . . . . . . (算式10)。\n在两边乘以法线矢量，并导入以下所示的二次规格量\nL＝n·suu，M＝n·suv，N＝n·sw......(算式11)\n时，成为\n ( n · n ) κ = L ( du ds ) 2 + 2 M ( du ds ) ( dv ds ) + N ( dv ds ) 2 . . . . . . (算式12)。\n上述的二次规格量L、M、N这样在各网格中唯一地确定，二次规格量 表32存储分别对于网格ID1～IDmn的值。\n另外，将式5代入式12时，得到以下的算式。\n κ = L ( du ) 2 + 2 Mdudv + N ( dv ) 2 E ( du ) 2 + 2 Fdudv + G ( dv ) 2 . . . . . . (算式13)\n由以上计算出一次规格量以及二次规格量。\n变换程序2从点列信息表30、一次规格量表31、二次规格量表32读取 自由曲面所必需的信息，并生成自由曲面数据，使计算机执行变形为其它的 CAD应用可以解释的形状的处理。\n再现程序3与变换程序2同样，从点列信息表30、一次规格量表31、二 次规格量表32读取自由曲面所必需的信息，并生成自由曲面数据，并使计算 机执行输出到图像显示处理部11的处理。\n数据库10存储上述点列信息表30、一次规格量表31、二次规格量表32， 解析程序1的输出结果与后述的网格ID建立关联并被写入。\n图像显示处理部11执行来自再现程序以及其它的CAD应用的输出结果 的图像显示处理。\n显示部12表示图像显示处理部11的输出结果。\n输出部13将图像显示处理部11的输出结果输出到通信部和其它的记录 媒体等。通信部经由LAN和因特网等网络对其它的服务器和客户机发送存储 于数据库1的点列信息、一次规格量、二次规格量等数据。\n接着，参照附图说明关于本实施方式的CAD系统的自由曲面解析、变换、 再现的一系列处理的流程。图4是表示解析程序1的从自由曲面解析到进行 数据传送的处理的流程的流程图。\n通过用户的操作，接受实测值数据20和其它的CAD格式数据21的解析 命令，CPU从ROM读取解析程序1，从而执行自由曲面解析处理。首先， CPU进行提取实测值数据20和其它CAD格式数据21保持的二维NURBS 面和双三维曲面等曲面上的多个点列的处理。然后，根据该点列使用其它的 CAD系统生成曲面(图4的步骤S1)，如图2所示，将曲面分割为规定数mn 的网格之后，将各网格部分用基本矢量Su、Sv规格化。规格化时生成的点列 信息(u，v)和网格ID同时与数据库10保持的点列信息表30建立关联并被写 入。\n接着，CPU执行微分几何解析处理。即，执行计算由形成网格的切平面 的基本矢量Su、Sv定义的一次规格量E、F、G的处理。计算的一次规格量 E、F、G与点列信息同样和网格ID同时与数据库10保持的一次规格量表31 建立关联并被写入。而且，CPU进行计算由基本矢量Su、Sv和网格的单位 法线矢量n定义的二次规格量L、M、N的处理。计算的二次规格量L、M、 N与一次规格量E、F、G同样和网格ID同时与数据库10保持的二次规格量 表32建立关联并被写入。\n而且，CPU进行处理来计算作为为了表示上述网格的微分方程式在各个 网格的边界面连续的条件，换言之，为了该微分方程式具有一样的解的条件 的可积分条件的处理。\n现在，将上述曲面坐标(u，v)与(u1，u2)置换，并将该点设为p(u1，u2)。可 固定u2并移动u1的曲线称为u1曲线，可固定u1并移动u2的曲线称为u2 曲线时，曲面上的p(u1，u2)点为起始点，可以如下计算沿着u1曲线、u2曲线 的切线矢量。\n e 1 = ∂ p ∂ u 1 , e 2 = ∂ p ∂ u 2 . . . . . . (算式14)\n然后，可以根据e1、e1如下计算单位法线矢量n。\n n = e 1 × e 2 | | e 1 × e 2 | | . . . . . . (算式15)\n这样，三个向量{e1、e2、n}在曲面上的各点被定义。\n在各点，如下定义第一基本量E、F、G。\nE＝||e1||2，F＝(e1，e2)，G＝||e2||2......(算式16)\n然后，第一基本张量(gij、i，j＝1，2)如下定义。\ng11＝E，g12＝g21＝F，g22＝G......(算式17)\n而且，四个数组giji，j＝1，2如下定义。\n g 11 = G EG - F 2 , g 12 = g 21 = = G EG - F 2 , g 22 = E EG - F 2 . . . . . . (算式18)\n进而，在各点，第二基本量L、M、N如下定义。\n L = ( ∂ 2 p ∂ ( u 1 ) 2 , n ) , M = ( ∂ 2 p ∂ u 1 ∂ u 2 , n ) , N = ( ∂ 2 p ∂ ( u 2 ) 2 , n ) . . . . . . (算式19)\n然后，第二基本张量(hij，i，j＝1，2)如下定义。\nh11＝L，h12＝h21＝M，h22＝N......(算式20)\n现在，以曲面坐标(u1，u2)微分动标构{e1，e2，n}时，得到由如下的两个算 式(算式21的高斯的算式以及算式22的Weigarten的算式)表示的曲面的构 造方程式。\n ∂ e i ∂ u j = k i j e k + h ij n . . . . . (算式21)\n ∂ n ∂ u i = - g jk h ij e k . . . . . . (算式22)\n k i j = 1 2 g kl ( ∂ g ij ∂ u i + ∂ g li ∂ u j + ∂ g ij ∂ u l ) . . . . . . (算式23)\n其中，算式23表示克里斯托福(Christoffel)符号。\n该构造方程式21、22的可积分条件表示在下面的两个算式(算式24的 高斯方程式以及算式25的迈因纳尔迪-柯达奇(Mainardi-Codazzi方程式)中。\n R jkl i = g im ( h jk h lm - h jl h km ) . . . . . . (算式24)\n ∂h ij ∂ u k - ∂h ik ∂ u j + l i j h lk - l i k h ij = 0 . . . . . . (算式25)\n R jkl i = ∂ ∂ u l i j k - ∂ ∂ u k i j l + m j k i m l - m j l i m k . . . . . . (算式26)\n其中，算式26表示黎曼克里斯托福的曲率张量。\n第一基本张量(gij、i，j＝1，2)和第二基本张量(hij、i，j＝1，2)作为曲面坐标 (u1，u2)的函数提供，在它们满足上述高斯方程式以及迈因纳尔迪-柯达奇方程 式的情况下，具有这样的gij、hij的曲面的形状被唯一决定(参照鲍奈(ボネ) 的基本定理)，所以各个网格C2连续。\nCPU进行这些运算处理，并计算上述可积分条件(步骤S2)。\n接着，CPU执行曲率线解析处理、特征线解析处理以及曲率、周长变换 处理(步骤S3)。首先，通过曲率线解析处理，基于一次规格量E、F、G以 及二次规格量L、M、N计算网格中的主曲率κ1、κ2(步骤S4)。即，首先 计算上述曲率κ的极值。作为图3所示的法平面和曲面的交线的法截面的形 状与该切线方向同时变化，法曲率也随之变化。该形状在将法平面半旋转时 返回原来的形状。现在，将γ设为\n γ = dv du . . . . . . (算式27)\n进而将κ重写为γ的函数κ(γ)时，成为 {L-κ(γ)·E}+2{M-κ(γ)·F}γ+{N-κ(γ)·G}γ2＝0......(算式28)。 根据该γ的二次式，在dκ(γ)/dγ＝0中，κ(γ)取极值。而且，基于 该极值条件将算式15微分，将κ和γ改写为(κ～)和(γ～)时，得到\n ( M - κ ~ F ) + ( N - κ ~ G ) γ ~ = 0 . . . . . . (算式29)。\n然后，代入算式16时，得到\n ( L - κ ~ E ) + ( M - κ ~ ) γ ~ = 0 . . . . . . (算式30)。\n根据这些算式，得到以下的关系式。\n γ ~ = - ( M - κ ~ F ) ( N - κ ~ G ) = - ( L - κ ~ E ) ( M - κ ~ F ) . . . . . . (算式31)\n κ ~ = ( M + κ ~ N ) ( F + κ ~ G ) = ( L + κ ~ M ) ( E + γ ~ F ) . . . . . . (算式32)\n将算式18变形时，得到\n ( EG - F 2 ) κ ~ 2 - ( EN + LG - 2 MF ) κ ~ + LN - M 2 = 0 . . . . . . (算式33)。\n根据算式7，κ～2的系数为正，将该根设为κ1、κ2时，如图5所示， 该值成为主曲率。\n接着，基于主曲率计算高斯曲率或者平均曲率(步骤S5)。即，根据二 次方程式的根和系数的关系，表现为\n Km = 1 2 ( κ 1 + κ 2 ) = 1 2 ( EN + LG - 2 MF ) ( EG - F 2 ) . . . . . . (算式34)\n Kg = κ 1 κ 2 = ( LN - M 2 ) ( EG - F 2 ) . . . . . . (算式35)。\n这里，Km、Kg分别是平均曲率以及高斯曲率。如图6所示，Kg＝0是 曲面成为可展面的情况，曲面上的曲率线成为直线。在本实施方式中，该高 斯曲率为0的点设为后述的变形的基准点。\n除了该点以外，作为变形的基准点合适的点，例如，可以选择曲率线、 边界线(棱线)、图7所示的等倾斜正交线、图8所示的主曲率极值线、图9 所示的倾斜极值线、脐点。它们是由作为表示曲面的特征的特征量的主曲率、 主方向、高斯曲率、平均曲率、曲率线中一个或者大于等于两个的特征量的 变化图形规定的变形的成为基准点或者基准线的点或者线，可基于一次规格 量以及二次规格量计算。\n而且，基于主曲率计算表示网格的主方向的曲率线。即，从算式19消去 κ～时，得到\n ( MG - NF ) γ ~ 2 + ( GL - NE ) γ ~ + FL - ME = 0 . . . . . . (算式36)\n或者，\n(MG-NF)dv2+(GL-NE)dudv+(FL-ME)du2＝0......(算式37)。\n这两个算式都是曲率线的算式，由于是二次方程式，所以γ1、γ2有以 下的关系。\n γ 1 + γ 2 = - ( GL - NE ) ( MG - NF ) , γ 1 γ 2 = ( FL - ME ) ( MG - NF ) . . . . . . (算式38)\n在曲面上的点，在由γ1、γ2决定的方向上，曲率取极值。曲面上的切 线矢量是(Sudu+Svdv)，对应于γ1、γ2的两个切线矢量的内积为\n(ds)1·(ds)2＝{(su+svγ1)·(su+svγ2)}(du)1(dv)2......(算式39)\n将该{}内变换时，\n{E(MG-NF)-F(GL-NE)+G(FL-ME)}/(MG-NF)......(算式40)\n成为零。即，可知主曲率的法截面的两个切线方向正交。该方向被称为主方 向，该主方向和曲面上的切线一致的情况下，这成为图10所示的曲率线。\n由上所述，进行表示网格的主方向的曲率线计算处理。\n接着，执行曲线周长变换处理(步骤S6)。即，CPU基于根据一次规格 量E、F、G以及二次规格量L、M、N计算的曲率来计算周长。沿着通过上 述曲率线的计算处理计算出的曲率线，根据曲率(1/r)计算曲率半径r，在每 计算区间伸缩曲率线的周长。\n由上所述，进行解析处理。\n接着，CPU接受收集了在步骤S1以及步骤S2中制作、提取的点列信息 以及一次规格量、二次规格量的情况(步骤S7中为“是”)从而进行曲面数 据传送处理(步骤S9)。另一方面，在这些信息不齐全的情况下，进行数据 库评价处理(步骤S7中为“否”)。即，比较基于在步骤S4～S6中计算的主 方向、基准位置(点和线等)、变形量再现的形状，和基于点列信息以及一次 规格量、二次规格量再现的形状，在它们一致的情况下(步骤S8中为“是”)， 进行曲面数据的传送处理(步骤S9)。而在它们不一致的情况下(步骤S8中 为“否”)，进行近似补充精度提高处理。即，将原曲面近似补充，以便可二 阶微分，再次从步骤S1重复上述处理。然后，在步骤S8中的比较评价一致 的阶段，转移到数据传送处理。\n对图1所示的变换程序2、或者再现程序3传送曲面数据。CPU接受变 换命令时执行变换程序2。即，首先，将作为特征点或者特征线取得的高斯 曲率为0的点作为变形的基准，在曲率线方向上仅将周长部分伸缩变形的曲 率线，并再现网格或者曲面。然后，从再现的网格或者曲面提取曲面上的多 个点列，根据其它CAD系统中的图形表现算法来变换点列。变换的图形数据 由其它的CAD应用22再现之后，被输出到图像显示处理部11。图像显示处 理部11进行CAD应用22输出的数据的显示处理，并将其输出到显示部12。 显示部12接受显示数据的输入并显示它。\n而且，CPU接受再现命令时执行再现程序3。再现程序使CPU执行变换 程序中的除了变换处理之外的处理。即，将高斯曲率为0的点作为变形的基 准，在曲率线方向上只将曲率线伸缩变形周长部分，并再现网格或者曲面。 然后，将再现的图形数据输出到图像显示处理部11，在显示处理后，在显示 部12中显示。\n如以上所说明的，根据本实施方式的CAD系统，保持C2连续的连续性， 得到可以进行自由曲面的解析、变换、再现的效果。从而，可以大幅度提高 CAD模型的利用价值，同时得到可以使设计、生产处理高效化的效果。\n另外，在本实施方式的CAD系统中，说明了关于CAD模型中的自由曲 面解析、变换、再现的一连串的处理，但本发明的CAD系统不限于此，可应 用于使用上述CG系统和计算机进行图像表现的系统以及程序中。\n而且，在实施方式的CAD系统中，作为合适的例子，如图2所示，将曲 面分割为网格之后，以基本矢量Su、Sv规格化，并进行了使用了点列信息(u，v) 的u，v参数表现的自由曲面解析、变换、再现，但本发明的CAD系统不限于 此，也可以使用(x，y，z)坐标参数的坐标值。\n上述CAD系统在内部具有计算机系统。而且，关于上述自由曲面解析、 变换、再现的一连串的处理的过程以程序的形式存储于计算机可读取的记录 媒体中，通过计算机读取该程序并执行，来进行上述处理。这里，计算机可 读取的记录媒体是指磁盘、光盘、CD-ROM、DVD-ROM、半导体存储器 等。而且，通过通信线路将该计算机程序分配给计算机，接受了该分配的计 算机执行该程序也可以。